一次,应邀陪女的朋友去窗帘行买窗帘布,她选中了一种,侃价侃到了17元1米,她说买12米,服务员拿来计算器准备计算金额,我顺口说:
“204元,就200元吧?”她没置可否,倒是又问了我一句,
“若是18米呢,多少钱?”
“306元。”略一沉吟,我说。
“13米?”
“221”这回快,几乎是接着她的话的后面,就回答了。
“我随意说一个两位数的乘法,你都能很快心算出来吗?”
“不能,我还没有那么大的本事。但是像52乘58、27乘87,这样的乘法,我还是能轻松地算出结果的。”
“说答案!”她边用计算器在算,边要求我说。
“前者是3016,后者是2349。”
“神了!你算得还真对。”惊奇之后,她有些狐疑地问我:
“你是做财会的?”
“不,我教物理。”
“那你怎么算得那么快?”
“耍小聪明呗,呵呵!这是现在上小学的孩子们都会的心算法!……”我有些揶揄地说。
她白了我一眼,去收我的女的朋友交的款和量布去了……
“业精于勤,荒于嬉”;脑慧于思,痴于惰。牛顿从苹果下落中,发现了万有引力定律,高斯能巧算1——100的数字之和,后来成为物理界或数学界的泰斗,都是因为他们勤于动脑,喜欢积极主动发现规律的结果。上面的计算,不过是用最简单的心算法算的。如果我们能教孩子点简单的心算法,则对提高孩子学数学的兴趣和开发智力是有益的,特别是培养孩子爱科学、勤于动脑和喜欢积极主动地去发现规律的习惯,是很有好处的。我们可以不指望他们成为伟人或在速算上有多大的成就;也许就这些速算的本身也没有太大的用处,因为能用到的机会不很多,但从开发智力、调动孩子的学习兴趣和形成孩子的良好习惯上来说,是有意义的……
下面就说明一下这几个最基本心算的规则,并略加扩展。
1,十位数字是1的两个两位数的乘法。
这是10~19中的两个数相乘的心算,例如前例中的17×12。
[口诀1]:
一个乘数与另一个乘数的个位数相加,为积的十位数字;个位数字相乘,为积的个位数字。
即:17×12=(17+2)×10+7×2=190+14=204
再例如:17×18=(17+8)×10+7×8=250+56=306
推导过程:设甲数的个位数字是m,乙数的个位数字是n,那么,甲数是10+m,乙数是10+n。于是:
甲×乙
=(10+m)×(10+n)
=100+10n+10m+mn
=10(10+m+n) +mn
2,十位数字相同、个位数字之和为10的两个两位数的乘法。
这是如17×13;52×58;74×76;……的乘法。
[口诀2]:
十位数字与其加1的数字相乘,为积的百位数字;个位的数字相乘,为积的个位数字。
即:17×13=1×(1+1)×100+7×3=221
上例当然也可以用口诀1来计算,但用口诀2更方便。
再例如:52×58=5×(5+1)×100+2×8=3016
74×76=7×(7+1)×100+4×6=5624
推导:设甲数为a×10+m,乙数为a×10+n,且m+n=10。
甲×乙
=(a×10+m)×(a×10+n)
=100a2+10an+10am+mn
=10a(10a+m+n)+mn
=10a(10a+10)+mn
=100a(a+1)+mn
3,十位数字之和为10、个位数字相同的两个两位数的乘法。
这是如26×86;37×77;43×63;……的乘法。
[口诀3]:
十位数字相乘的结果加个位数,为积的百位数字;个位数字的平方,为积的个位数字。
即:26×86=(2×8+6)×100+6×6=2200+36=2236
再例如:37×77=(21+7)×100+49=2849
43×63=(24+3)×100+9=2709
推导:设甲数为a×10+m,乙数为b×10+m,且a+b=10。
甲×乙
=(a×10+m)×(b×10+m)
=100ab+10am+10bm+m2
=100ab+10m(a+b)+m2
=100ab+10m×10 +m2
=100(ab+m)+m2
4,个位数是5的两个两位数的乘法。
即:25×45;85×35;61×95;……的乘法。
[口诀4]:
十位数字相乘的结果,加上十位数字的和的一半,为积的百位数字;再加25.
即:25×45=[2×4+(2+4)/2]×100+25=1125
25×35=(6+2.5)×100+25=875
推导:设甲的十位数字为a,乙的十位数字为b。则甲数为10a+5,乙为10b+5。
甲×乙
=(10a+5)(10b+5)
=100ab+50a+50b+25
=100ab+50(a+b)+25
=100ab+100/2(a+b)+25
=100[ab+(a+b)/2]+25
5,关于一个乘数为5,25,125的两个数的乘法,可变为简单的除法
这是如:36×5;29×25;24×125;……的乘法。
[口诀5]:
变以5、25、125的乘数为相应的2、4、8为除数,再把商相应乘以10、100、1000。
即:36×5=36÷2×10=180
29×25=29÷4×100=725
24×125=24÷8×1000=3000
这无需证明,这里无非是把5、25、125换作了10÷2、100÷4、1000÷8。除以2、4、8是一位数除法,可口算,而乘10、100、1000,不过是移动小数点,无需计算。
上面的口诀用文字表述起来是很麻烦的,因为需要注意叙述的严密和准确,可是实际做起来,是很简单的。例如[口诀1],我们实际算的时候,实际就是“个位相加,错下一位,再加乘积。”这心算时是极其容易的,写成算式则为:
12×16=
12
6
+ 12
——————
192
一位数的乘除法,是基础,必须很熟。如果有点珠算的“归除”常识,就更好,如“二一添作五;四一二剩二,四二添作五,四三七剩二;八一下加二,八二下加四,八三四剩六,八四添作五,八五六剩二,八六七剩四,八七八剩六;等等。”会归除,可以免去实际计算,而提高总的计算速度。
孩子小的时候,机械记忆能力特别强,多记些东西,会终生受益。有些数可以要求他们记下来,不要用到现算,如两位数11~25的平方:
11——121,12——144,13——169,14——196,15——225,16——256,17——289,18——324,19——361,20——400,21——441,22——484,23——529,24——576,25——625。
学速算,关键是口诀要熟,要多实践,一定要根据题目中所具备的条件,而采用相应的口诀,严防张冠李戴而产生错误。还要强调要注意联想,要学活,要活用,能举一反三。譬如:
(1)我们可以根据[口诀5]推理:我们不可以仿此进行相反的计算,即把被5、25、125除,变为乘2、4、8,再缩小相应的倍数来计算吗?
(2)我们不可以把[口诀2]推广到三位的两个数相乘吗?只要是十位以前的数字相同、末位的数字之和为10,就可以用相同的规则去算,如:
123×127=12×(12+1)×100+(3×7)=15621
(3)[口诀4]不可以推广到两个三位数相乘吗,只要末位数是5的?如:
125×135=(156+12.5)×100+25=16875
实践证明,是可以的。这样,就推广了你的口诀的应用范围。可见多“思”可以使人变得聪“慧”,而懒“惰”,会让人变得愚“痴”。
本文这里只想引个路,不想在此对心算做太多的探讨,如果读者朋友有对这方面的兴趣,那您可以去阅读史丰收教授的《快速计算法》或亚瑟·本杰明、迈克尔·谢尔的《生活中的魔法数学:世界上最简单的心算法》。